毕达哥拉斯定理

“故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”这是《周髀算经》中记录的周朝数学家商高的一段话，后来被人们总结为“勾三股四弦五”，即勾股定理。

勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即。最早用演绎法证明这个定理的，是古希腊的数学家毕达哥拉斯，因此，勾股定理又叫毕达哥拉斯定理。

毕达哥拉斯定理的证明始于一次偶然。相传，善于观察的毕达哥拉斯在一次聚会上，被脚下的正方形大理石地砖深深吸引。他拿起画笔，蹲在地板上，在选定的一块石砖上以它的对角线为边画一个正方形，他惊讶地发现：这个正方形的面积正好等于两块砖的面积和。一开始，他以为这只是个巧合，于是再以两块瓷砖拼成的矩形的对角线作另一个正方形，他发现这个正方形的面积相当于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。于是，毕达哥拉斯作了大胆假设：任何直角三角形中，其斜边的平方恰好等于另两边的平方之和。这次意外的收获让毕达哥拉斯欣喜若狂。后来，他又做了进一步的演算，最终证明了“毕达哥拉斯定理”。

毕达哥拉斯定理的发现却引发了“第一次数学危机”，这源于古希腊数学家希帕索斯的一个问题：边长为1的正方形，其对角线的长度是多少？无疑，这一长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，这一发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。这个有悖于常识的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，因为毕达哥拉斯学派认为宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。

二百年后，古希腊数学家欧多克索斯建立起一套完整的比例论，其成果保存在欧几里得《几何原本》一书中，他巧妙地避开无理数在“逻辑上的丑闻”，解决了由无理数的出现而引起的数学危机。然而，欧多克索斯是借助几何方法避开无理数的，这就导致无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不是真正的数。18世纪，当数学家证明了基本常数，如圆周率，是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。19世纪下半叶，实数理论逐渐建立后，无理数在数学中的合法地位才得以确立。从此，人们对数的认识从有理数拓展到实数，而第一次数学危机也最终得到解决。