线性代数-第4期(2019春)

谢小贤/本科/华侨大学

目录

  • 1 第一单元 线性方程组与矩阵
    • 1.1 线性方程组的概念和几何意义
      • 1.1.1 线性方程组的概念和类型
      • 1.1.2 线性方程组的解和验证
      • 1.1.3 二元和三元线性方程组的几何意义
      • 1.1.4 第一节 测验
    • 1.2 线性方程组的消元法和初等变换
      • 1.2.1 线性方程组的消元法和初等变换——二元方程组
      • 1.2.2 线性方程组初等变换的应用——复杂方程组
    • 1.3 矩阵的概念和初等变换
      • 1.3.1 矩阵的概念、特殊矩阵和矩阵相等
      • 1.3.2 矩阵的初等变换、运算次序、矩阵等价
      • 1.3.3 线性方程组与矩阵的初等变换、行最简形矩阵
      • 1.3.4 化 行最简形矩阵
      • 1.3.5 第1周  学习重点与讨论
      • 1.3.6 化 标准形矩阵
      • 1.3.7 矩阵的秩及计算1——初等行变换
    • 1.4 线性方程组的解的判定定理
      • 1.4.1 解的判定定理及其证明
      • 1.4.2 解的判定和计算
      • 1.4.3 含参数的线性方程组的解
    • 1.5 第一章（第2周） 重点难点与讨论（第2周学习重点）
  • 2 第二单元 行列式
    • 2.1 二阶和三阶行列式
      • 2.1.1 二阶行列式
      • 2.1.2 三阶行列式
    • 2.2 全排列和对换
      • 2.2.1 全排列 逆序数
      • 2.2.2 对换
    • 2.3 n 阶行列式
      • 2.3.1 n 阶行列式的定义
      • 2.3.2 行列式的计算1——用定义
      • 2.3.3 第3周   学习重点与讨论
    • 2.4 行列式的性质
      • 2.4.1 行列式的性质1
      • 2.4.2 行列式的性质2
      • 2.4.3 行列式的计算2——用性质（化零元）
      • 2.4.4 行列式的计算3——用性质（化零元）
    • 2.5 行列式的展开定理
      • 2.5.1 行列式的代数余子式和展开引理
      • 2.5.2 行列式的展开定理
      • 2.5.3 行列式的计算4——降阶法
      • 2.5.4 第4周  学习重点与讨论
    • 2.6 行列式的计算5——综合计算
      • 2.6.1 行列式的计算——化零元+降阶
      • 2.6.2 行列式的计算——数学归纳法
      • 2.6.3 行列式的计算——递推法
      • 2.6.4 行列式的计算——升阶法
      • 2.6.5 行列式的计算——含有代数余子式的算式（构造行列式法）
    • 2.7 Cramer法则
      • 2.7.1 Cramer法则
      • 2.7.2 含参数线性方程组的解1
      • 2.7.3 含参数线性方程组的解2
    • 2.8 第5周 学习重点与讨论
    • 2.9 第二章 重点难点
  • 3 第三单元 矩阵及其应用
    • 3.1 矩阵的加法和数乘运算
    • 3.2 矩阵的乘法运算
    • 3.3 方阵的幂运算
      • 3.3.1 方阵的幂1——数学归纳法
      • 3.3.2 方阵的幂2——乘法结合律
      • 3.3.3 方阵的幂3——二项式分布法
      • 3.3.4 方阵的幂4——矩阵多项式
    • 3.4 矩阵的转置运算
      • 3.4.1 第6周  学习重点与讨论
    • 3.5 矩阵的共轭运算
    • 3.6 矩阵的分块运算
      • 3.6.1 分块矩阵的定义和运算
      • 3.6.2 分块对角阵的运算
      • 3.6.3 矩阵按行或列 划分的应用
      • 3.6.4 矩阵方程的解的判定定理 及其 证明
    • 3.7 方阵的行列式
      • 3.7.1 方阵的行列式的性质
      • 3.7.2 伴随矩阵的性质
      • 3.7.3 第7周  学习重点与讨论
    • 3.8 逆矩阵
      • 3.8.1 逆矩阵的定义、唯一性、存在性
      • 3.8.2 方阵可逆的充要条件
      • 3.8.3 逆矩阵的性质
    • 3.9 逆矩阵的计算
      • 3.9.1 逆矩阵的计算1——因式分解法
      • 3.9.2 逆矩阵的计算2——待定系数法
      • 3.9.3 逆矩阵的计算3——伴随矩阵法
      • 3.9.4 逆矩阵的计算4——分块矩阵法
      • 3.9.5 逆矩阵的应用——方阵的幂——对角阵的幂
      • 3.9.6 逆矩阵的应用——解矩阵方程1
      • 3.9.7 第8周 学习重点与讨论
    • 3.10 矩阵与行列式的运算比对——综合
    • 3.11 方阵行列式的计算——综合（抽象）
    • 3.12 初等矩阵与初等变换
      • 3.12.1 初等矩阵与初等变换——左行右列
      • 3.12.2 初等矩阵与可逆矩阵
      • 3.12.3 初等变换的应用——逆矩阵的计算5
      • 3.12.4 初等变换的应用——解矩阵方程2
      • 3.12.5 第9周   学习重点与讨论
    • 3.13 矩阵的秩
      • 3.13.1 最高阶非零子式
      • 3.13.2 初等变换不改变最高阶非零子式的阶数-证明
      • 3.13.3 矩阵的秩的等价定义
      • 3.13.4 矩阵秩的计算2——最高阶非零子式的阶
      • 3.13.5 矩阵秩的性质1-6——证明
      • 3.13.6 矩阵秩的性质7-8——证明
      • 3.13.7 矩阵秩的性质9——证明
      • 3.13.8 矩阵秩的性质——应用
    • 3.14 第三章 重点 难点
    • 3.15 第10周 学习重点与讨论
  • 4 第四单元 向量空间
    • 4.1 向量组的线性表示
      • 4.1.1 向量组的概念和线性运算
      • 4.1.2 向量组的线性表示及其充要条件
      • 4.1.3 向量组之间的线性表示及其充要条件
      • 4.1.4 向量组等价及其充要条件
      • 4.1.5 向量组等价与矩阵等价
      • 4.1.6 第11周 学习重点与讨论
    • 4.2 向量组的线性相关性
      • 4.2.1 向量组线性相关性 充要条件1
      • 4.2.2 向量组线性相关性 充要条件2
      • 4.2.3 向量组线性相关性 充要条件3
      • 4.2.4 向量组线性表示的唯一性
      • 4.2.5 向量组线性相关性的性质
        • 4.2.5.1 向量组线性相关性的性质1
        • 4.2.5.2 向量组线性相关性的性质2
        • 4.2.5.3 向量组线性相关性的性质3
      • 4.2.6 向量组线性相关性的判定 习题
      • 4.2.7 向量组线性相关性与线性表示
      • 4.2.8 向量组线性相关性与初等变换
      • 4.2.9 第12周 学习重点与讨论
    • 4.3 向量组的秩
      • 4.3.1 最大无关组的定义和性质
      • 4.3.2 向量组的秩
      • 4.3.3 向量组的秩与矩阵的秩
      • 4.3.4 最大无关组和秩的计算1——定义
      • 4.3.5 最大无关组和秩的计算2——逐项扩充法
      • 4.3.6 最大无关组和秩的计算3——初等变换法
      • 4.3.7 向量组的秩的相关结论——证明
      • 4.3.8 第13周 学习重点与讨论
    • 4.4 线性方程组 解的结构
      • 4.4.1 齐次线性方程组 Ax = O
        • 4.4.1.1 Ax = O 解的性质、基础解系和通解
        • 4.4.1.2 Ax = O 求基础解系和通解
        • 4.4.1.3 Ax = O 通解结构——应用
      • 4.4.2 非齐次线性方程组 Ax = b
        • 4.4.2.1 Ax = b 解的性质、通解结构及计算
        • 4.4.2.2 Ax = b 通解结构——应用
    • 4.5 向量空间
      • 4.5.1 向量空间
      • 4.5.2 向量空间——基、维数和坐标
      • 4.5.3 向量空间——基变换和坐标变换
      • 4.5.4 第14周 学习重点与讨论
    • 4.6 线性空间简介(辅修）
      • 4.6.1 线性空间
      • 4.6.2 线性空间——基、坐标和基变换、坐标变换
    • 4.7 第四章 重点 难点
  • 5 第五单元  相似矩阵（供3学分选修)
    • 5.1 欧氏空间
      • 5.1.1 内积、长度、夹角和正交性
      • 5.1.2 正交向量组和标准正交向量组
      • 5.1.3 施密特正交化
      • 5.1.4 正交矩阵和正交变换
    • 5.2 特征值和特征向量
      • 5.2.1 特征值和特征向量的定义
      • 5.2.2 特征值和特征向量的计算
      • 5.2.3 特征值和特征向量的性质 1
      • 5.2.4 特征值和特征向量的性质 2
      • 5.2.5 特征值和特征向量的性质 3
      • 5.2.6 特征值和特征向量的应用——环保问题
      • 5.2.7 第15周 作业&测验
    • 5.3 相似矩阵
      • 5.3.1 相似矩阵--定义和性质
      • 5.3.2 方阵相似对角化的判定
      • 5.3.3 方阵相似对角化的计算——找可逆矩阵P
      • 5.3.4 方阵相似对角化的应用
      • 5.3.5 第16周 作业 & 测验
    • 5.4 实对称矩阵的相似对角化
      • 5.4.1 实对称矩阵的相似对角化 ——性质
      • 5.4.2 实对称矩阵的相似对角化 —计算1—找正交矩阵Ｐ
      • 5.4.3 实对称矩阵的相似对角化 —计算2
    • 5.5 第五章 重点 难点
    • 5.6 第17周  第五章 测验
  • 6 二次型（供3学分选修）
    • 6.1 二次型及其矩阵表示
    • 6.2 矩阵的合同对角化
      • 6.2.1 合同矩阵的定义和性质
      • 6.2.2 矩阵合同对角化的计算1—— 正交矩阵法
      • 6.2.3 矩阵合同对角化的计算2——初等变换法
    • 6.3 化标准形
      • 6.3.1 化标准形 ——配方法
      • 6.3.2 化标准形 ——正交变换法
      • 6.3.3 化标准形 ——初等变换法
    • 6.4 正定二次型
      • 6.4.1 正定二次型 —— 化规范形 惯性定理
      • 6.4.2 正定二次型——判定1
      • 6.4.3 正定二次型——判定2
      • 6.4.4 正定二次型——判定2证明
      • 6.4.5 负定二次型的判定
      • 6.4.6 正定矩阵的判定和性质
    • 6.5 二次曲面
    • 6.6 第六章 重点 难点
    • 6.7 第18 周 第六章 测验
  • 7 与线性代数相关的应用——拓展（供兴趣学习）
    • 7.1 软件Matlab与线性代数
    • 7.2 图像置乱技术
矩阵的概念和初等变换

课程目标

介绍矩阵的初等变换，行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准形矩阵，

      矩阵的秩，解的判定定理

掌握矩阵的初等变换

掌握化行最简形矩阵的方法及过程

掌握线性方程组的消元法，初等变换与 矩阵的初等变换之间的关系

掌握利用矩阵的秩判定线性方程组解的情况，

进而掌握如何讨论含参数的线性方程组的解