7．3空间插值方法

空间插值方法可以分为整体插值和局部插值方法两类。整体插值方法用研究区所有采样点的数据进行全区特征拟合；局部插值方法是仅仅用邻近的数据点来估计未知点的值。

整体插值方法通常不直接用于空间插值，而是用来检测不同于总趋势的最大偏离部分，在去除了宏观地物特征后，可用剩余残差来进行局部插值。由于整体插值方法将短尺度的、局部的变化看作随机的和非结构的噪声，从而丢失了这一部分信息。局部插值方法恰好能弥补整体插值方法的缺陷，可用于局部异常值，而且不受插值表面上其它点的内插值影响。

7．3．1整体插值方法

1）边界内插方法

边界内插方法假设任何重要的变化发生在边界上，边界内的变化是均匀的，同质的，即在各方向都是相同的。这种概念模型经常用于土壤和景观制图，可以通过定义“均质的”土壤单元、景观图斑，来表达其它的土壤、景观特征属性。

边界内插方法最简单的统计模型是标准方差分析（ANOVAR）模型：

式中，z是在x₀位置的属性值，μ是总体平均值，α_k是k类平均值与μ的差，ε为类间平均误差（噪声）。

该模型假设每一类别k的属性值是正态分布；每类k的平均值（μ+α_k）由一个独立样品集估计，并假设它们是与空间无关的；类间平均误差ε假设所有类间都是相同的。

评价分类效果的指标是，为类间方差，为总体方差，比值越小分类效果越好。分类效果的显著性检验可以用F检验。

实质上，边界内插方法的理论假设是：

l 属性值z在“图斑”或景观单元内是随机变化的，不是有规律的；

l 同一类别的所有“图斑”存在同样的类方差（噪声）；

l 所有的属性值都呈正态分布；

l 所有的空间变化发生在边界上，是突变而不是渐变。

在使用边界内插时，应仔细考虑数据源是否符合这些理论假设。

2）趋势面分析

某种地理属性在空间的连续变化，可以用一个平滑的数学平面加以描述。思路是先用已知采样点数据拟合出一个平滑的数学平面方程，再根据该方程计算无测量值的点上的数据。这种只根据采样点的属性数据与地理坐标的关系，进行多元回归分析得到平滑数学平面方程的方法，称为趋势面分析。它的理论假设是地理坐标（x,y）是独立变量，属性值Z也是独立变量且是正态分布的，同样回归误差也是与位置无关的独立变量。

多项式回归分析是描述长距离渐变特征的最简单方法。多项式回归的基本思想是用多项式表示线、面，按最小二乘法原理对数据点进行拟合。线或面多项式的选择取决于数据是一维的还是二维的。

用一个简单的示例来说明，地理或环境调查中特征值z沿一个断面在x₁，x₂…x_n处采样，若z值随x值增加而线性增大，则该特征值的长期变化可以用下面一个回归方程进行计算：

其中，b₀，b₁为回归系数，ε为独立于x的正态分布残差（噪声）。

然而许多情况下，不是以线性函数，而是以更为复杂的方式变化，则需用二次多项式进行拟合：

对于二维的情况，XY坐标的多元回归分析得到的曲面多项式，形式如下：

前三种形式分别是：

                  平面

        斜平面

   二次曲面

其中，p是趋势面方程的次数。

是趋势面多项式正常情况下的最少项数个数。零次多项式是平面，有1个项数；一次多项式是斜平面，有3个项数；二次曲面有6个项数，三次趋势面有10个项数。

计算系数b_i是一个标准的多元回归问题。趋势面分析的优点是非常容易理解，至少是在计算方面。另外大多数情况下可用低次多项式进行拟合，但给复杂的多项式赋与明确的物理意义比较困难。

趋势面是个平滑函数，很难正好通过原始数据点，除非是数据点少且趋势面次数高才能是曲面正好通过原始数据点，所以趋势面分析是一个近似插值方法。实际上趋势面最有成效的应用是揭示区域中不同于总趋势的最大偏离部分，所以趋势面分析的主要用途是，在使用某种局部插值方法之前，可用趋势面分析从数据中去掉一些宏观特征，不直接用它进行空间插值。

趋势面拟合程度的检验，同多元回归分析一样，可用F分布进行检验，其检验统计量为：

其中，U为回归平方和，Q为残差平方和（剩余平方和），p为多项式项数（不包括常数项b₀），n为使用数据点数目。当F>F_a时，趋势面显著，否则不显著。

3）变换函数插值

根据一个或多个空间参量的经验方程进行整体空间插值，也是经常使用的空间插值方法，这种经验方程称为变换函数。下面以一个研究实例进行说明。

冲积平原的土壤重金属污染与几个重要因子有关，其中距污染源（河流）的距离，和高程两个因子最重要。一般情况，携带重金属的粗粒泥沙沉积在河滩上，携带重金属的细粒泥沙沉淀在低洼的在洪水期容易被淹没的地方，而那些洪水频率低的地方，由于携带重金属污染泥沙颗粒比较少，受到污染轻。由于距河流的距离和高程是比较容易得到的空间变量，可以用各种重金属含量与它们的经验方程进行空间插值，以改进对重金属污染的预测。本例回归方程的形式如下：

式中是z(x)某种重金属含量（ppm），b₀…b_n是回归系数，p₁…p_n是独立空间变量，本例p₁是距河流的距离因子，p₂是高程因子。

这种回归模型通常叫做转换函数，大多数GIS软件都可以计算。转换函数可以应用于其他独立变量，如温度、高程、降雨量和距海、植被的距离关系可以组合为一个超剩含水量的函数。地理位置及其属性可以尽可能多的信息组合成需要的回归模型，然后进行空间插值。但应该注意的一点是，必须清楚回归模型的物理意义。还要指出的是所有的回归转换函数都属于近似的空间插值。

整体插值方法通常使用方差分析和回归方程等标准的统计方法，计算比较简单。其它的许多方法也可用于整体空间插值，如傅立叶级数和小波变换，特别是遥感影象分析方面 ，但它们需要的数据量大。

7．3．2局部插值方法

局部插值方法只使用邻近的数据点来估计未知点的值，包括几个步骤：

1）定义一个邻域或搜索范围；

2）搜索落在此邻域范围的数据点；

3）选择表达这有限个点的空间变化的数学函数；

4）为落在规则格网单元上的数据点赋值。重复这个步骤直到格网上的所有点赋值完毕。

使用局部插值方法需要注意的几个方面是：所使用的插值函数；邻域的大小、形状和方向；数据点的个数；数据点的分布方式是规则的还是不规则的。

1）最近邻点法：泰森多边形方法

泰森多边形（Thiessen，又叫Dirichlet 或Voronoi多边形）采用了一种极端的边界内插方法，只用最近的单个点进行区域插值。泰森多边形按数据点位置将区域分割成子区域，每个子区域包含一个数据点，各子区域到其内数据点的距离小于任何到其它数据点的距离，并用其内数据点进行赋值。连接所有数据点的连线形成Delaunay三角形，与不规则三角网TIN具有相同的拓扑结构。

GIS和地理分析中经常采用泰森多边形进行快速的赋值，实际上泰森多边形的一个隐含的假设是任何地点的气象数据均使用距它最近的气象站的数据。而实际上，除非是有足够多的气象站，否则这个假设是不恰当的，因为降水、气压、温度等现象是连续变化的，用泰森多边形插值方法得到的结果图变化只发生在边界上，在边界内都是均质的和无变化的。

2）移动平均插值方法：距离倒数插值

距离倒数插值方法综合了泰森多边形的邻近点方法和趋势面分析的渐变方法的长处，它假设未知点x₀处属性值是在局部邻域内中所有数据点的距离加权平均值。距离倒数插值方法是加权移动平均方法的一种。加权移动平均方法的计算公式如下：

式中，权重系数由函数计算，要求当时，一般取倒数或负指数形式

。其中

最常见的形式是距离倒数加权函数，形式如下：

式中，x_j为未知点，x_i为已知数据点。

加权移动平均公式最简单的形式称为线性插值，公式如下：

距离倒数插值方法是GIS软件根据点数据生成栅格图层的最常见方法。距离倒数法计算值易受数据点集群的影响，计算结果经常出现一种孤立点数据明显高于周围数据点的“鸭蛋”分布模式，可以在插值过程中通过动态修改搜索准则进行一定程度的改进。

3）样条函数插值方法

在计算机用于曲线与数据点拟合以前，绘图员是使用一种灵活的曲线规逐段的拟合出平滑的曲线。这种灵活的曲线规绘出的分段曲线称为样条。与样条匹配的那些数据点称为桩点，绘制曲线时桩点控制曲线的位置。曲线规绘出的曲线在数学上用分段的三次多项式函数来描述这种曲线，其连接处有连续的一阶和二阶连续导数。

样条函数是数学上与灵活曲线规对等的一个数学等式，是一个分段函数，进行一次拟合只有与少数点拟合，同时保证曲线段连接处连续。这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线，趋势面分析方法做不到这一点，（图16）。

图8-16：样条函数的局部特征

（a：当二次样条曲线的一个点位置变化时，只需要重新计算四段曲线；

b：而一次样条曲线的一个点位置变化时，只需要重新计算两段曲线）

一般的分段多项式p(x)定义为：

p(x)=p_i (x)    x_i < x < x_i+1     ( i=1, 2, 3…, k-1 )

  ( j=0, 1, 2, ..., r-1; i=1, 2, ... , k-1 )

x₁, ..., x_k-1将区间x₀，x_k分成k个子区间，这些分割点称“断点”，曲线上具有这些x值的点称为“节”。函数p_i (x)为小于等于m次的多项式。r项用来表示样条函数的约束条件：

r=0，无约束；

r=1，函数连续且对它的导数无任何约束；

r=m-1，区间[x₀x_k]可用一个多项式表示；

r=m，约束条件最多。

m=1,2,3时的样条分别为一次、二次、三次样条函数，其导数分别是0阶、1阶、2阶导数，二次样条函数的每个节点处必须有一阶连续导数，三次样条函数的每个节点初必须有二阶连续导数。r=m的简单样条只有k+m个自由度，r=m=3有着特殊的意义，因为它是三次多项式，该函数首次被人们称为样条函数。术语“三次样条”用于三维情况，此时进行曲面内插，而不是曲线内插。

由于离散子区间的范围较宽，可能是一条数字化的曲线，在这个范围内计算简单样条会引起一定的数学问题，因此在实际应用中都用B样条—一种特殊的样条函数。B样条是感兴趣区间以外均为零的其它样条的和，因此可按简单的方法用低次多项式进行局部拟合。

B样条经常用于数字化的线划在显示之前进行平滑处理，例如土壤、地质图上的各种边界，传统的制图总希望绘出较平滑的曲线。但是用B样条做多边形边界平滑也存在一些问题，特别是多边形面积和周长的计算，结果会与平滑前的不同。

综上所述，样条函数是分段函数，每次只用少量数据点，故插值速度快。样条函数与趋势面分析和移动平均方法相比，它保留了局部的变化特征。线性和曲面样条函数都在视觉上上得到了令人满意的结果。样条函数的一些缺点是：样条内插的误差不能直接估算，同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些“块”拼成复杂曲面，又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题。