线性代数-第16期国家级一流线上课程（2024-08-26）

谢小贤

目录

  • 第0章 课程简介
    • ● 0.1 教学大纲
    • ● 0.2 课程设计
    • ● 0.3 课程绪论
    • ● 0.4 课程登入
    • ● 0.5 数学辅导答疑时间和地点
  • 第一章 线性方程组与矩阵
    • ● 1.0 导入——交通流量模型
    • ● 1.1 线性方程组的概念和几何意义
      • ● 1.1.1 线性方程组的概念和类型
      • ● 1.1.2 线性方程组的解和验证
      • ● 1.1.3 二元和三元线性方程组的几何意义
    • ● 1.2 线性方程组的消元法和初等变换
      • ● 1.2.1 线性方程组的消元法和初等变换——二元方程组
      • ● 1.2.2 线性方程组初等变换的应用——复杂方程组
    • ● 1.3 矩阵的概念和初等变换
      • ● 1.3.1 矩阵的概念、特殊矩阵和矩阵相等
      • ● 1.3.2 矩阵的初等变换、运算次序、矩阵等价
      • ● 1.3.3 线性方程组与矩阵的初等变换、行最简形矩阵
      • ● 1.3.4 化 行最简形矩阵
      • ● 第1周  学习重点与讨论
      • ● 1.3.5 化 标准形矩阵
      • ● 1.3.6 矩阵的秩及计算1——初等行变换
    • ● 1.4 线性方程组的解的判定定理
      • ● 1.4.1 解的判定定理及其证明
      • ● 1.4.2 解的判定和计算
      • ● 1.4.3 含参数的线性方程组的解
    • ● 1.5 习题专题1—chap1（供兴趣参考）
      • ● 1.5.1 chap1 填空题
      • ● 1.5.2 chap1 选择题
      • ● 1.5.3 chap1 计算题
      • ● 1.5.4 chap1 习题答案或提示
      • ● 1.5.5 chap1 习题答案详解
    • ● 第2周  重点难点与讨论
  • 第二章 行列式
    • ● 2.1 二阶和三阶行列式
      • ● 2.1.1 二阶行列式
      • ● 2.1.2 三阶行列式
    • ● 2.2 全排列和对换
      • ● 2.2.1 全排列 逆序数
      • ● 2.2.2 对换
    • ● 2.3 n 阶行列式
      • ● 2.3.1 n 阶行列式的定义
      • ● 2.3.2 行列式的计算1——用定义
      • ● 第3周   学习重点与讨论
    • ● 2.4 行列式的性质
      • ● 2.4.1 行列式的性质1
      • ● 2.4.2 行列式的性质2
      • ● 2.4.3 行列式的计算2——用性质（化零元）
      • ● 2.4.4 行列式的计算3——用性质（化零元）
    • ● 2.5 行列式的展开定理
      • ● 2.5.1 行列式的代数余子式和展开引理
      • ● 2.5.2 行列式的展开定理
      • ● 2.5.3 行列式的计算4——降阶法
      • ● 第4周  学习重点与讨论
    • ● 2.6 行列式的计算5——综合计算
      • ● 2.6.1 行列式的计算——化零元+降阶
      • ● 2.6.2 行列式的计算——数学归纳法
      • ● 2.6.3 行列式的计算——递推法
      • ● 2.6.4 行列式的计算——升阶法
      • ● 2.6.5 行列式的计算——含有代数余子式的算式（构造行列式法）
    • ● 2.7 Cramer法则及其应用
      • ● 2.7.1 Cramer法则
      • ● 2.7.2 含参数线性方程组的解1
      • ● 2.7.3 含参数线性方程组的解2
    • ● 2.8 习题专题2—chap2（供兴趣参考）
      • ● 2.8.1 chap2 填空题
      • ● 2.8.2 chap2 选择题
      • ● 2.8.4 chap2 习题答案或提示
      • ● 2.8.3 chap2 计算题
      • ● 2.8.5 chap2 习题详解
    • ● 第5周 学习重点与讨论
    • ● 第二章 重点难点
  • 第三章  矩阵及其应用
    • ● 3.0 导入-信息加密解密
    • ● 3.1 矩阵的加法和数乘运算
    • ● 3.2 矩阵的乘法运算
    • ● 3.3 方阵的幂运算
      • ● 3.3.1 方阵的幂1——数学归纳法
      • ● 3.3.2 方阵的幂2——乘法结合律
      • ● 3.3.3 方阵的幂3——二项式分布法
      • ● 3.3.4 方阵的幂4——矩阵多项式
    • ● 3.4 矩阵的转置运算
    • ● 3.5 矩阵的共轭运算
    • ● 第6周  学习重点与讨论
    • ● 3.6 矩阵的分块运算
      • ● 3.6.1 分块矩阵的定义和运算
      • ● 3.6.2 分块对角阵的运算
      • ● 3.6.3 矩阵按行或列 划分的应用
      • ● 3.6.4 矩阵方程的解的判定定理 及其 证明
    • ● 3.7 方阵的行列式
      • ● 3.7.1 方阵的行列式的性质
      • ● 3.7.2 伴随矩阵的性质
      • ● 第7周  学习重点与讨论
    • ● 3.8 逆矩阵
      • ● 3.8.1 逆矩阵的定义、唯一性、存在性
      • ● 3.8.2 方阵可逆的充要条件
      • ● 3.8.3 逆矩阵的性质
    • ● 3.9 逆矩阵的计算
      • ● 3.9.1 逆矩阵的计算1——因式分解法
      • ● 3.9.2 逆矩阵的计算2——待定系数法
      • ● 3.9.3 .逆矩阵的计算3——伴随矩阵法
      • ● 3.9.4 逆矩阵的计算4——分块矩阵法
      • ● 3.9.5 逆矩阵的应用——方阵的幂——对角阵的幂
      • ● 3.9.6 逆矩阵的应用——解矩阵方程1
      • ● 第8周 学习重点与讨论
    • ● 3.10 矩阵与行列式的运算比对——综合
    • ● 3.11 方阵行列式的计算——综合（抽象）
    • ● 3.12 初等矩阵与初等变换
      • ● 3.12.1 初等矩阵与初等变换——左行右列
      • ● 3.12.2 初等矩阵与可逆矩阵
      • ● 3.12.3 初等变换的应用——逆矩阵的计算5
      • ● 3.12.4 初等变换的应用——解矩阵方程2
      • ● 第9周   学习重点与讨论
    • ● 3.13 矩阵的秩
      • ● 3.13.1 最高阶非零子式
      • ● 3.13.2 初等变换不改变最高阶非零子式的阶数-证明
      • ● 3.13.3 矩阵的秩的等价定义
      • ● 3.13.4 矩阵秩的计算2——最高阶非零子式的阶
      • ● 3.13.5 矩阵秩的性质1-6——证明
      • ● 3.13.6 矩阵秩的性质7-8——证明（选学）
      • ● 3.13.7 矩阵秩的性质9——证明（选学）
      • ● 3.13.8 矩阵秩的性质——应用
    • ● 3.14 习题专题3—chap3（供兴趣参考）
      • ● 3.14.1 chap3 填空题
      • ● 3.14.2 chap3 选择题
      • ● 3.14.3 chap3 计算题
      • ● 3.14.4 chap3 习题答案或提示
      • ● 3.14.5 chap3 习题详解
    • ● 第三章 重点 难点
    • ● 第10周 学习重点与讨论
  • 第四章 向量空间
    • ● 4.0 案例导入
    • ● 4.1 向量组的线性表示
      • ● 4.1.1 向量组的概念和线性运算
      • ● 4.1.2 向量组的线性表示及其充要条件
      • ● 4.1.3 向量组之间的线性表示及其充要条件
      • ● 4.1.4 向量组等价及其充要条件
      • ● 4.1.5 向量组等价与矩阵等价
      • ● 第11周 学习重点与讨论
    • ● 4.2 向量组的线性相关性
      • ● 4.2.1 向量组线性相关性 充要条件1——用秩
      • ● 4.2.2 向量组线性相关性 充要条件2——用行列式（可逆性）
      • ● 4.2.3 向量组线性相关性 充要条件3——线性表示的关系
      • ● 4.2.4 向量组线性表示的唯一性
      • ● 4.2.5 向量组线性相关性的性质
        • ● 4.2.5.1 向量组线性相关性的性质1——局部与整体
        • ● 4.2.5.2 向量组线性相关性的性质2——溢出原理
        • ● 4.2.5.3 向量组线性相关性的性质3——长与短
      • ● 4.2.6 向量组线性相关性的判定 习题
      • ● 4.2.7 向量组线性相关性与线性表示
      • ● 4.2.8 向量组线性相关性与初等变换
      • ● 第12周 学习重点与讨论
    • ● 4.3 向量组的最大无关组
      • ● 4.3.1 最大无关组的定义和性质
      • ● 4.3.2 向量组的秩
      • ● 4.3.3 向量组的秩与矩阵的秩
      • ● 4.3.4 最大无关组和秩的计算1——定义
      • ● 4.3.5 最大无关组和秩的计算2——逐项扩充法
      • ● 4.3.6 最大无关组和秩的计算3——初等变换法
      • ● 4.3.7 向量组的秩的相关结论——证明
      • ● 第13周 学习重点与讨论
    • ● 4.4 线性方程组 解的结构
      • ● 4.4.1 齐次线性方程组 Ax = O
        • ● 4.4.1.1 Ax = O 解的性质、基础解系和通解
        • ● 4.4.1.2 Ax = O 求基础解系和通解
        • ● 4.4.1.3 Ax = O 通解结构——应用
      • ● 4.4.2 非齐次线性方程组 Ax = b
        • ● 4.4.2.1 Ax = b 解的性质、通解结构及计算
        • ● 4.4.2.2 Ax = b 通解结构——应用
    • ● 4.5 向量空间
      • ● 4.5.1 向量空间的定义
      • ● 4.5.2 向量空间——基、维数和坐标
      • ● 4.5.3 向量空间——基变换和坐标变换
      • ● 第14周 学习重点与讨论
    • ● 4.6 线性空间简介
      • ● 4.6.1 线性空间
      • ● 4.6.2线性空间——基、坐标和基变换、坐标变换
    • ● 4.7 chap4 习题（供兴趣参考）
      • ● 4.7.1 chap4 填空题
      • ● 4.7.2 chap4 选择题
      • ● 4.7.3 chap4 计算题
      • ● 4.7.4 chap4 习题答案或提示
      • ● 4.75 chap4 计算题习题详解
    • ● 第四章 重点 难点
  • 第五章  相似矩阵（供3学分选修)
    • ● 5.0 案例导入
    • ● 5.1 欧氏空间
      • ● 5.1.1 内积、长度、夹角和正交性
      • ● 5.1.2 正交向量组和标准正交向量组
      • ● 5.1.3 施密特正交化
      • ● 5.1.4 正交矩阵和正交变换
    • ● 5.2 特征值和特征向量
      • ● 5.2.1 特征值和特征向量的定义
      • ● 5.2.2  特征值和特征向量的计算
      • ● 5.2.3 特征值和特征向量的性质 1
      • ● 5.2.4 特征值和特征向量的性质 2
      • ● 5.2.5 特征值和特征向量的性质 3
      • ● 5.2.6 应用案例——环保问题
      • ● 第15周 学习与讨论
    • ● 5.3 相似矩阵
      • ● 5.3.1  相似矩阵--定义和性质
      • ● 5.3.2 方阵相似对角化的判定
      • ● 5.3.3 方阵相似对角化的计算——找可逆矩阵P
      • ● 5.3.4 方阵相似对角化的应用
    • ● 5.4 实对称矩阵的相似对角化
      • ● 5.4.1  实对称矩阵的相似对角化 ——性质
      • ● 5.4.2 实对称矩阵的相似对角化 —计算1—找正交矩阵Ｐ
      • ● 5.4.3 实对称矩阵的相似对角化 —计算2
    • ● 5.5 习题专题5—chap5（供兴趣参考）
      • ● 5.5.1 chap5 填空题
      • ● 5.5.2 chap5 选择题
      • ● 5.5.3 chap5 计算题
      • ● 5.5.4 chap5 习题答案或提示
    • ● 第五章 重点 难点
    • ● 第16周  第五章 测验
  • 第六章 二次型（供3学分选修）
    • ● 6.1 二次型及其矩阵表示
    • ● 6.2 矩阵的合同对角化
      • ● 6.2.1 合同矩阵的定义和性质
      • ● 6.2.2 矩阵合同对角化的计算1—— 正交矩阵法
      • ● 6.2.3 矩阵合同对角化的计算2——初等变换法
    • ● 6.3 化标准形
      • ● 6.3.1 化标准形 ——配方法
      • ● 6.3.2 化标准形 ——正交变换法
      • ● 6.3.3 化标准形 ——初等变换法
    • ● 6.4 正定二次型
      • ● 6.4.1  正定二次型 —— 化规范形 惯性定理
      • ● 6.4.2 正定二次型——判定1
      • ● 6.4.3  正定二次型——判定2
      • ● 6.4.4 正定二次型——判定2证明
      • ● 6.4.5 负定二次型的判定
      • ● 6.4.6 正定矩阵的判定和性质
    • ● 6.5二次曲面
    • ● 6.6 习题专题6—chap6（供兴趣参考）
      • ● 6.6.1 chap6 填空题
      • ● 6.6.2 chap6 选择题
      • ● 6.6.3 chap6 计算题
      • ● 6.6.4 chap6 习题答案或提示
    • ● 第六章 重点 难点
    • ● 第17周 第六章 测验
  • 第七章 应用专题——拓展（供兴趣学习）
    • ● 7.1 软件Matlab与线性代数
    • ● 7.2 图像置乱技术
    • ● 7.3 数字水印
    • ● 7.4 病态矩阵
    • ● 7.5 中国剩余定理
5.4 实对称矩阵的相似对角化

课程目标

掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质

掌握实对称矩阵相似对角化的计算和应用


注：掌握下面两种计算的联系与区别

    （1）找可逆矩阵，使得实对称矩阵相似对角化

    （2）找正交矩阵，使得实对称矩阵相似对角化