教学大纲         

一、教学目标

   线性代数是高等院校中工科、管理、经济等专业本科生的一门重要的基础理论课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定的条件下也可转化为线性问题，因此本课程所介绍的基本理论和方法广泛地应用于各个学科。尤其是在计算机得到普及的今天，本课程的作用与地位更显重要。

通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识和必要的运算技能，同时使学生在运用数学方法分析问题和解决问题的能力方面进一步培养和训练，为学习有关专业课程提供必要的数学基础。

 

二、教学基本内容

  第一章  线性方程组与矩阵

     矩阵的初等变换和初等矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩，线性方程组的解。

     [重点] 矩阵秩的概念，矩阵的初等变换以及用矩阵的初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件。

     [难点] 矩阵秩的概念，矩阵的初等变换以及用矩阵的初等变换求矩阵的秩。

     [学习要求]

  掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩。

  掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件、非齐次线性方程组有解的充要条件。

  

  第二章  行列式

二阶与三阶行列式，n阶行列式的定义，行列式的性质，行列式按行(列)展开。

[重点]  行列式的定义及性质，行列式的计算。

[难点] 有关行列式的性质的证明。

[学习要求]

了解行列式的定义、熟练掌握行列式的性质，掌握二、三、四阶行列式的计算法，会计算简单的n阶行列式。

 

    第三章  矩阵及其应用

矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵的分块法。

[重点] 矩阵概念，矩阵的运算及运算规律，逆矩阵概念，逆矩阵存在的充要条件及矩阵求逆的方法，分块矩阵及其运算，Cramer法则。

[难点] 矩阵可逆的充分必要条件的证明。

[学习要求]

了解矩阵的概念，理解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。掌握Cramer法则。

 

    第四章  向量组的线性相关性理论

向量的概念，向量组的线性相关与线性无关的概念和性质，向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间、子空间、基、维数等概念。齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

[重点] n维向量及向量组的线性相关性的概念和有关结论。向量组的极大无关组和秩的概念及其求法。向量组的秩与矩阵的秩的关系。向量组等价的概念。线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，非齐次线性方程组解的结构及通解。

[难点]  向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关结论的证明。向量组的极大线性无关组的求法。齐次线性方程组的基础解系。

[学习要求]

理解n维向量的概念，理解向量组线性相关、线性无关的概念，了解并会运用有关向量组线性相关、线性无关的有关结论。了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，熟练掌握向量组的极大线性无关组及秩的求法。了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵的秩的关系。了解n维向量空间、子空间、基、维数等概念。理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

   

    第五章  方阵的特征值和特征向量理论

向量的内积、长度及正交性，施密特正交化，矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法，相似矩阵的概念及性质，矩阵可相似对角化的充分必要条件，实对称矩阵的相似对角矩阵。

 [重点]  施密特正交化，矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法，相似矩阵的概念及性质。矩阵可相似对角化的充分必要条件，实对称矩阵与对角矩阵相似的结论。

[难点]  相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。

[学习要求]

了解向量的内积、正交矩阵的概念和性质。掌握施密特正交化，理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，熟练掌握矩阵的特征值和特征向量的求解方法。理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。

    第六章  二次型

二次型及其矩阵表示，二次型的秩，惯性定律的结论，用配方法、合同变换法、正交变换法化二次型为标准型，二次型及系数矩阵的正定性及其判别法。

[重点]  二次型的概念、二次型的矩阵表示方法，惯性定律的结论，用配方法、合同变换法、正交变换法化二次型为标准型的方法，二次型及系数矩阵的正定性的概念及其判别方法。

[难点]  二次型的概念和矩阵表示，惯性定律的证明，二次型及系数矩阵的正定性及其判断。

[学习要求]

掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解惯性定律。掌握用配方法、合同变换法、正交变换法化二次型为标准型的方法。掌握二次型及系数矩阵的正定性及其判别法。