c++中数学思想方法的转折

历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。

1、从算术到代数

算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。

在算术解题法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。解方程是古典(经典)代数最基本的内容。方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。

2、从常量数学到变量数学

算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分内容，也称为常量数学。运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定的状态。

可是，对于描述运动和变化，却是无能为力的，于是便产生了从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分-变量数学。从常量数学到变量数学，是数学在思想方法上的又一次重大转折。

自然科学通过向数学提出各种重大的问题，在一定程度上推动着数学的发展。变量数学就是在回答十六、十七世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。古希腊的阿基米德等人在解答数学内部的某些问题时，已经十分接近了微分和积分的计算，这些计算实际上给出了微积分的原始雏型。但是，微积分理论却没能在阿基米德的时代确立，一直到十七世纪才得以完成。其原因之一，就是十七世纪以前生产和自然科学所提出的问题，常量数学大都可以解决，对变量数学的需求缺乏迫切性。然而，到了十七世纪，随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡，自然科学从神学的桎梏下解放出来，开始大踏步地前进。这时，生产和自然科学部门，向数学提出一系列必须从运动变化和发展观点来研究事物的新问题。这些新问题，大体可以分为以下五种类型：

第一，描述非匀速运动物体的轨迹。第二，求变速运动物体的速度或路程。第三，求曲线在任一点的切线。第四，求变量的极值，即求变量在某种条件下所能达到的最大值或最小值。第五，计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力等，求积问题也是一个古老的问题。不难看出上述五类问题有一个共同的特征；就是要求把“变量”作为其研究象。这些问题成为十六、十七世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心课题的深入研究，导致了变量数学的产生。

3、从必然数学到或然数学

从必然数学到或然数学，是数学思想方法的又一次重大转折。所谓必然数学，是指描述和研究现实世界的必然现象及其规律的那部分数学，它包括通常的算术、三角、几何、代数、微积分、微分方程论、积分方程论和函数论等分支学科。必然数学在科学技术、社会实践以及日常生活中有着广泛的应用，成为人们认识和改造世界的有力工具。然而，在研究和解决现实世界大量存在的偶然现象中的量及其关系问题上，必然数学就无能为力了，需要创造新的数学方法。于是，一个新的数学领域-或然数学便被开拓出来了。

首先，或然数学与必然数学、自然科学与社会科学相互作用产生出许多新的学科，如平稳随机过程理论、马尔科夫过程论、多元分析、试验分析、统计物理学、统计生物学、统计医学和概率逻辑等。

其次，或然数学的理论和方法，在科学技术、国防、工农业和经济各部门得到广泛的应用，特别是在电子技术、自动控制、气象预报、地震预报、地质勘探、企业管理、公共事业以及国防中的防空、巡逻搜索等部门已经取得明显的社会效益。

4、从明晰数学到模糊数学

明晰数学是研究明晰量的有力工具，但对模糊的量它就不适用了。人们在寻找处理模糊量及其关系变化规律的数学方法过程中，创立了一门新的数学分支学科-模糊数学。模糊数学的产生，是数学思想方法的又一次重大转折。

在理论研究方面，首先，模糊集合概念本身不断得到扩展，产生出许多不同类型的模糊集合，如L一模糊集合、R一模糊集合、Z型集合和n级模糊集合等。其次，模糊数学的内容日渐丰富。所研究的课题已涉及到广泛的范围，如模糊数、模糊关系、模糊图、模糊向量、模糊关系方程、模糊映射及变换、模糊概率、模糊判断、模糊规划、模糊逻辑、模糊语言、模糊识别和模糊控制等等。

在应用研究方面，模糊数学的思想与方法正在广泛渗透到科学和技术的各个领域，如物理、化学、生物学、医学、心理学、气象学、环境科学、管理学、经济学、情报学、语言学、逻辑学、系统论、信息论、控制论以及人工智能等。同时，在农业、林业、建筑、采矿、冶金、地质、机器检修等许多国民经济领域都已取得初步的成果。模糊数学的理论和应用研究相结合，是模糊数学发展的一个重要课题。