02-26 17:44 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

两个向量组之间的线性表示问题

已知 向量组A:a1=(1,2,3);a2=(4,5,6), 向量组B：b1=(1,0,0),b2=(1,1,0),b3=(1,1,1), 则 向量组A 可以由向量组B 线性表示， 且 向量组B也可以由向量组A 线性表示. 对吗？为什么？ 请写出解题过程或思路

• 12-14 21:40 李学琼

  1. 答案：线性无关
  2. 答案：线性相关
  3. 答案：线性无关
  4. 答案：线性相关
  5. 答案：存在线性表示，但不唯一

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02-24 20:07 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

如何化二次曲面方程为标准方程？

如何化二次曲面方程为标准方程？并判别曲面方程对应的二次曲面图形？

• 06-29 15:52 邓弦

  一般步骤如下：
  
  1. 确定二次曲面的类型（如椭圆抛物面、双曲抛物面、椭球面、双曲面等）。
  2. 将二次曲面方程中的各项按x²、y²、z²分组。
  3. 将方程两边的常数项移到等号右边。
  4. 如果方程中有交叉项（如xy、yz、zx），需要通过配方将其消去。
  5. 将方程两边同时除以二次项的系数，使其成为1。
  6. 整理方程，使其符合标准形式。
  
  例如，对于椭球面的一般方程：
  
  \[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} \frac{z^2}{c^2} = 1 \]
  
  这就是椭球面的标准方程。对于其他类型的二次曲面，标准方程的形式会有所不同。

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02-24 15:36 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

二次型的规范形唯一吗？

二次型的规范形唯一吗？为什么？

• 06-29 14:13 邓弦

  不是

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02-24 16:51 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

用初等变换法 把 实对称矩阵合同对角化，具体实施思想是什么？

1.用初等变换法 把 实对称矩阵合同对角化，具体实施思想是什么？ 2.这个合同对角化过程，只需要使用初等行变换，或只需要使用初等列变换，或需要同时用到初等行变换和初等列变换？

• 06-29 13:00 邓弦

  具体实施思想：
  1. 将实对称矩阵转换为对角矩阵。
  2. 使用初等行变换和列变换（可逆变换）。
  3. 通过变换将矩阵的零特征值对应的块（如2×2的零块）转换为1×1的零块。
  4. 重复上述步骤，直到所有非零特征值都成为对角线上的元素。
  5. 确保变换矩阵是可逆的，以便将原矩阵对角化。

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02-24 20:06 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

用正交矩阵，把实对称矩阵合同对角化 或 相似对角化

用正交矩阵，把实对称矩阵合同对角化 与 用正交矩阵，把实对称矩阵相似对角化 一样吗？

• 06-29 12:45 邓弦

  相似对角化

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02-24 20:06 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

合同矩阵与相似矩阵的联系与区别？

合同矩阵与相似矩阵的联系与区别是什么？

• 06-29 12:30 邓弦

  联系：
  1. 都是基于矩阵的数学概念。
  2. 都与线性变换有关。
  3. 在某些情况下，可以通过相似变换将一个矩阵转化为另一个矩阵。
  
  区别：
  1. 定义不同：合同矩阵是实对称矩阵，而相似矩阵是经过相似变换得到的矩阵。
  2. 性质不同：合同矩阵具有正负惯性指数，相似矩阵则不涉及此类性质。
  3. 应用不同：合同矩阵在二次型理论中有重要应用，相似矩阵在特征值和特征向量方面有广泛用途。

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02-24 16:51 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

二次型及其矩阵

二次型及其矩阵是一一对应的， 问：二次型的矩阵是对称矩阵，反对称矩阵，还是一般矩阵？

• 06-29 12:12 邓弦

  1. 二次型：\( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \)
  2. 矩阵：对应的二次型矩阵为 \( A = (a_{ij}) \) ，其中 \( a_{ij} \) 是二次型中 \( x_ix_j \) 的系数。

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02-24 20:06 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

利用实对称矩阵的特征值 和可对角化的特性，做相关计算

实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的， 实对称矩阵一定可对角化， 我们可以利用这些特性，做相关计算。

• 06-29 11:02 邓弦

  题目请提供，我将直接给出答案。

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02-24 09:56 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

实对称矩阵的相似对角化

1.找可逆矩阵P，使实对称矩阵A 对角化， 2.找正交矩阵Q，使实对称矩阵A 对角化， 这两种对角化过程，主要区别在哪？

• 06-29 10:46 邓弦

  是

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02-24 08:02 谢小贤 华侨大学 在线性代数-第17期国家级一流线上课程（2025-02-16）课程中提问：

实对称矩阵一定可对角化，为什么？

实对称矩阵一定可对角化，为什么？

• 06-29 10:27 邓弦

  实对称矩阵一定可对角化，因为它们具有正交的特征向量，并且特征值总是实数。

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